CFD | SIMPLE 算法

不可壓縮 Navier-Stokes 方程

對於不可壓縮Navier-Stokes方程，可以表示為：

動量方程：

$$\rho \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+\rho (\mathbf{u}\cdot \mathrm{\nabla })\mathbf{u}=-\mathrm{\nabla }p+\mu {\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{u}+\mathbf{f}$$

穩狀:

$$\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}=0$$

連續方程：

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{u}=0$$

式中有 4 個待求的物理量：

• ${\mathbf{u}}_x$：在 $x$ 方向的速度分量，
• ${\mathbf{u}}_y$：在 $y$ 方向的速度分量，
• ${\mathbf{u}}_z$：在 $z$ 方向的速度分量，
• $p$：壓力。

其中：

• $$ 為壓力（pressure），
• $$ 為運動黏度（dynamic viscosity），
• $$ 為流體密度，
• $$ 為體積力，例如重力或外加力。

在求解不可壓縮 Navier-Stokes方 程時，會遇到以下兩個主要困難：

1. 壓力的顯式求解：壓力 $$ 隱藏在動量方程中，與速度場 $$ 相耦合，沒有顯式的壓力求解方式。
2. 連續性約束：從動量方程中求解出的速度場 $$ 不一定滿足連續方程 $$ 的不可壓縮性條件。

SIMPLE 演算法

SIMPLE（Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations）演算法是針對上述問題提出的一種數值求解方法，主要透過壓力校正來分解耦合問題。其步驟如下：

1. 動量方程離散化：
   將動量方程寫成矩陣形式： $$ 其中 $$ 是係數矩陣，$$ 是速度場，$$ 是包含壓力梯度項和其它源項的向量。

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在不可壓縮Navier-Stokes方程中，壓力的直接求解通常利用 壓力 Poisson 方程。該方程是從動量方程與連續性條件組合推導而來，用於確保速度場滿足不可壓縮條件（$$）。推導過程如下：

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壓力 Poisson 方程的推導

1. 連續方程： $$

2. 動量方程： $$

   將動量方程兩側對空間做散度運算，得到： $$

3. 利用連續性約束： 假設 $$ 不完全滿足連續性，為了修正壓力，考慮壓力與速度的相互影響，可得壓力 Poisson 方程的通用形式： $$

4. 穩態情況： 當系統處於穩態且外力項可忽略時，簡化為： $$

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使用壓力 Poisson 方程的目標

• 修正壓力場： 確保修正後的速度場滿足不可壓縮條件。
• 耦合速度與壓力： 將壓力從動量方程顯性分離，通過 壓力 Poisson 方程 解壓力後，代入動量方程修正速度場。

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壓力 Poisson 方程的解法通常基於離散化數值技術，例如有限差分法、有限體積法等，通過求解壓力校正場 $$ 來逐步逼近最終滿足 $$ 的速度場。

SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure Linked Equations) 是一種數值方法，用於解決不可壓縮Navier-Stokes方程中的速度和壓力耦合問題。

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注意事項

1. 欠鬆弛因子的作用
   欠鬆弛因子在每次迭代中減小更新幅度，防止發散，提高算法穩定性。

2. 網格選擇
   壓力和速度的網格離散化需滿足 交錯網格法（staggered grid），以避免數值擴散或壓力震盪問題。

3. 收斂條件
   選擇合適的殘差範圍和迭代次數限制，確保結果的準確性和計算效率。

SIMPLE 是一種穩健且簡單的方法，適合處理穩態不可壓縮流體問題，但在處理瞬態或高雷諾數流體時，可能需要改進版本，如 SIMPLEC 或 PISO。

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SIMPLE演算法求解過程總結為如下4步：

1. 由給定的初始壓力或上一迭代步壓力求解動量方程，但是求得的速度變數並不一定滿足連續性方程。
2. 根據壓力泊松方程式求解得到壓力。
3. 利用求得的壓力修正速度，使之能滿足連續性方程式.
4. 若速度不滿足動量方程，請回到步驟（1）重複循環，直到滿足為止。

那其他的標量方程式怎麼辦？例如能量方程式、湍流方程式 $$ 方程式及 $$ 方程式等。這些方程式也可以放到上數求解循環中，只要放到速度修正方程式後依序求解即可。

SIMPLE

PISO演算法是在SIMPLE以後發展出來，最初為 瞬態 不可壓縮流動 設計的一種演算法。 PISO演算法與SIMPLE演算法的差異在於速度場由速度修正方程修正後，並沒有直接回到如下動量方程進行迭代循環，而是直接進行更新H矩陣，求解壓力泊松方程，因此動量方程只是初始迭代使用過一次，此後便不再使用，因此相比 SIMPLE 演算法計算量減少，速度更快。

由於有方程式的時間導數項，PISO演算法在瞬態流動計算時候比較穩定。當時間步長比較小時，時間導數項會遠大於動量方程式對流項、擴散項、源項等其他項，而由於時間倒數項會出現矩陣對角陣上，因此小的時間步長就會使矩陣對角佔優，這種矩陣特性會使方程式的解更加穩定，花費較少的迭代步達到收斂。

$$

當然從另一方面來說，由於穩態流動沒有時間導數項，因此若簡單使用SIMPLE演算法就不如PISO演算法穩定，因此SIMPLE演算法會以使用鬆弛因子的方式人工增加對角矩陣係數，使方程式求解更加穩定，具體細節這裡就不再多說了。

總的來說吧，PISO演算法比較適合瞬態不可壓縮流體。當時間步長足夠小時（庫朗數<1）時，就不需要人工增加對角矩陣係數，使其對角佔優，只需要做一次動量方程式求解，然後對壓力方程式及速度修正方程式進行迭代循環即可收斂。

PISO

References

1. 第6章 回流问题流动－传热 耦合计算的数值方法
2. 6.4 原始变量顺序求解流场的 压力修正方法
3. OpenFOAM编程案例 | 14 SIMPLE算法
4. [CFD] The SIMPLE Algorithm (to solve incompressible Navier-Stokes)
5. 什么是SIMPLE及PISO算法？
6. SIMPLE algorithm description