Barotropic vs. Baroclinic Atmosphere

• Barotropic 正壓
• Baroclinic 斜壓

正壓與斜壓的數學差異在於等壓面與等密度面是否平行：平行為正壓，不平行為斜壓。低緯度通常平行，高緯度則有夾角。可通過判斷 \(\nabla P \times \nabla \rho\) 是否為零來確認。

在大氣中討論正壓與斜壓時，通常聚焦於不穩定性，即正壓不穩定與斜壓不穩定。不穩定是指在特定環境配置下，小擾動會持續放大。

正壓不穩定（水平風切）：
當渦度（類似角速度）變化劇烈時易發生。數學條件為存在一點，其南側渦度為負，北側為正（或相反），即渦度符號相反，反映強烈變化。
在熱帶，ITCZ南側風越過赤道轉為西南風，北側為東北風，形成強烈風切與渦度變化，促進小擾動成長，引發正壓不穩定。
熱帶氣旋（如颱風）中，眼區渦度小，眼牆渦度大，渦度變化劇烈，易形成正壓不穩定。

斜壓不穩定（垂直風切）：
由水平溫度梯度（如南北溫差大）驅動。根據熱力風平衡，大溫差導致強垂直風切，從而引發不穩定。

正壓與斜壓

以下是對正壓（barotropic）與斜壓（baroclinic）條件、其數學差異以及在大氣不穩定性（正壓不穩定與斜壓不穩定）中角色的更詳細闡述，特別針對熱帶氣旋的相關性進行深入探討。

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1. 正壓與斜壓：數學與物理上的區別

正壓與斜壓的區別在於等壓面（isobaric surfaces，\(P = \text{常數}\)）與等密度面（isopycnal surfaces，\(\rho = \text{常數}\)）是否平行。這一關係決定了大氣流動的基本動力學特性。

• 正壓條件：
  • 定義：當等壓面與等密度面平行時，稱為正壓大氣。
  • 數學判斷：壓力梯度（\(\nabla P\)）與密度梯度（\(\nabla \rho\)）平行，因此它們的叉積為零： \[ \nabla P \times \nabla \rho = 0 \]
  • 物理意義：在正壓大氣中，等壓面上的密度不隨位置變化，這通常出現在溫度梯度微弱的地區，如低緯度（熱帶）。此時，大氣運動近似為二維流動，動力學主要由水平風切（wind shear）和渦度（vorticity，旋轉量）主導。
  • 範例：在熱帶地區，由於溫度場較均勻，等壓面與等密度面幾乎平行，屬於正壓環境。
• 斜壓條件：
  • 定義：當等壓面與等密度面不平行，彼此形成夾角時，稱為斜壓大氣。
  • 數學判斷：壓力梯度與密度梯度的叉積不為零： \[ \nabla P \times \nabla \rho \neq 0 \]
  • 物理意義：斜壓條件源於水平溫度梯度，導致等壓面上的密度變化。這在溫帶和高緯度較常見，因為這些地區存在顯著的溫度對比（例如極地冷空氣與副熱帶暖空氣之間），使等密度面相對於等壓面傾斜。
  • 範例：在中緯度，急流（jet stream）與強烈的水平溫度梯度相關，導致斜壓條件和垂直風切。
• 地理分佈：
  • 低緯度（熱帶）：由於水平溫度梯度較弱，大氣通常為正壓，等壓面與等密度面平行。
  • 高緯度（中至極地）：強烈的溫度梯度（例如極地冷空氣與副熱帶暖空氣之間）導致斜壓條件，等壓面與等密度面形成夾角。

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2. 大氣不穩定性：正壓不穩定與斜壓不穩定

在大氣科學中，討論正壓與斜壓時，通常聚焦於不穩定性（instability），即在特定大氣配置下，小擾動（perturbations）可能指數增長，導致顯著的天氣現象，如氣旋、風暴或熱帶氣旋。不穩定性發生在滿足特定條件時，使擾動得以放大。

正壓不穩定（與水平風切相關）

• 定義：正壓不穩定發生在正壓大氣中，當水平風切導致渦度（vorticity，類似角速度的旋轉量）梯度強烈變化時，小擾動會放大，形成波動或渦旋。
• 數學條件：
  • 正壓不穩定需要渦度梯度的符號反轉。具體來說，對東西向（緯向，zonal）氣流，絕對渦度（absolute vorticity，\(\eta = \zeta + f\)，其中\(\zeta\)為相對渦度，\(f\)為科氏力參數）的南北向（經向，meridional）梯度必須在某處改變符號： \[ \frac{\partial \eta}{\partial y} = 0 \text{，且兩側符號相反} \]
  • 這表示存在一個區域，北側渦度梯度為正，南側為負（或反之）。
• 物理機制：
  • 強烈的水平風切形成高渦度和低渦度的區域，例如急流或剪切區，一側渦度為正，另一側為負。
  • 小擾動（例如波動）在這種剪切區中可從平均氣流中提取動能，導致擾動增長。
• 大氣中的範例：
  • 熱帶輻合帶（ITCZ）：在熱帶，ITCZ是貿易風匯聚的區域。夏季時，ITCZ南側的風在越過赤道後因科氏力轉為西南風，北側則為東北風，形成強烈的水平風切區，伴隨顯著的渦度梯度：
    • ITCZ南側：負渦度（南半球氣旋性）。
    • ITCZ北側：正渦度（北半球氣旋性）。
    • 這種渦度梯度滿足正壓不穩定的條件，使小擾動（例如東風波）成長為較大的系統。
  • 熱帶氣旋：在熱帶氣旋（如颱風）中，平靜的風眼渦度幾乎為零，而眼牆因快速旋轉具有極高渦度。這種劇烈的徑向渦度梯度為正壓不穩定提供了理想環境，小擾動（例如眼牆中的中尺度渦旋）可通過提取氣旋平均氣流的動能而增長，影響氣旋的結構或強度。
• 關鍵特徵：
  • 正壓不穩定是純水平過程，不涉及垂直運動或溫度梯度。
  • 其能量來源是平均氣流的動能（風切），而非位能。

斜壓不穩定（與垂直風切相關）

• 定義：斜壓不穩定發生在斜壓大氣中，當強烈的水平溫度梯度導致垂直風切時，擾動通過將位能轉化為動能而增長。
• 數學條件：
  • 斜壓不穩定需要顯著的經向溫度梯度（\(\frac{\partial T}{\partial y}\)）及其伴隨的垂直風切，這由熱力風平衡（thermal wind balance）描述： \[ \frac{\partial \mathbf{v}_g}{\partial z} \propto -\frac{\partial T}{\partial y} \] 其中\(\mathbf{v}_g\)為地轉風，\(z\)為高度。
  • 必要條件通常通過Charney-Stern準則表達，涉及位渦（potential vorticity）梯度在溫度梯度存在時改變符號。
• 物理機制：
  • 水平溫度梯度（例如南側暖空氣，北側冷空氣）導致對流層頂傾斜和垂直風切。
  • 擾動（例如波動）隨高度傾斜，可釋放儲存在溫度梯度中的可用位能（available potential energy），將其轉化為動能，促進擾動增長。
  • 這是一個三維過程，涉及水平和垂直運動（例如暖空氣上升，冷空氣下沉）。
• 大氣中的範例：
  • 中緯度氣旋：在中緯度，斜壓不穩定驅動溫帶氣旋的形成。極鋒（polar front）上的強溫度梯度（冷極地空氣與暖副熱帶空氣之間）在急流中產生垂直風切，促進波動增長。
  • 急流動力學：急流的垂直風切與溫度梯度相關，是斜壓不穩定的熱點，導致天氣尺度天氣系統的發展。
• 關鍵特徵：
  • 斜壓不穩定的能量來源是水平溫度梯度中的可用位能。
  • 它涉及垂直運動，對中緯度天氣系統至關重要。

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3. 熱帶氣旋的相關性

熱帶氣旋（例如颱風、颶風）是複雜的系統，受正壓和斜壓過程的共同影響，但由於熱帶地區主要為正壓環境，正壓不穩定在其形成和增強中更為關鍵。

• 熱帶氣旋中的正壓不穩定：
  • 結構：熱帶氣旋的風眼平靜，渦度幾乎為零，而眼牆因劇烈旋轉具有高渦度。這種徑向渦度梯度的劇烈變化為正壓不穩定提供了條件。
  • 機制：小擾動（例如眼牆中的中尺度渦旋）可通過從氣旋平均氣流中提取動能而增長，導致眼牆替換週期或不對稱結構的形成。
  • ITCZ的貢獻：ITCZ的強風切和渦度梯度為初始擾動（例如熱帶波）的發展提供了有利環境，這些擾動可通過正壓不穩定演變為熱帶氣旋。
  • 範例：大西洋的東風波在ITCZ的正壓不穩定環境中放大，常成為颶風的前身。
• 斜壓影響：
  • 雖然熱帶氣旋主要在正壓環境中形成，但斜壓效應在與中緯度系統的交互中可能發揮作用。例如：
    • 當熱帶氣旋向高緯移動時，可能進入斜壓區（例如中緯度鋒面），引發溫帶轉換（extratropical transition）。在此過程中，斜壓不穩定可通過引入垂直風切和溫度梯度增強氣旋的發展。
    • 上層低壓槽（斜壓特徵）可通過增強氣旋的流出或引入垂直風切，調節熱帶氣旋的強度。

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4. 總結：正壓與斜壓的關鍵差異與應用

面向	正壓不穩定	斜壓不穩定
大氣條件	等壓面與等密度面平行 (\(\nabla P \times \nabla \rho = 0\))	等壓面與等密度面不平行 (\(\nabla P \times \nabla \rho \neq 0\))
驅動因素	水平風切（渦度梯度）	水平溫度梯度（垂直風切）
能量來源	平均氣流的動能	溫度梯度中的可用位能
主要區域	熱帶（例如ITCZ、熱帶氣旋）	中高緯度（例如急流、極鋒）
數學條件	渦度梯度改變符號 (\(\frac{\partial \eta}{\partial y} = 0\))	位渦梯度在溫度梯度存在時改變符號
範例	東風波、眼牆中尺度渦旋	溫帶氣旋、急流波動

• 熱帶氣旋：主要由熱帶的正壓不穩定驅動，ITCZ或眼牆的渦度梯度扮演關鍵角色。斜壓不穩定在氣旋向溫帶轉換時變得重要。
• 數學工具：
  • 正壓不穩定：分析渦度場（\(\zeta\)）及其經向梯度。
  • 斜壓不穩定：檢查溫度梯度（\(\frac{\partial T}{\partial y}\)）和熱力風平衡下的垂直風切。

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5. 補充說明

• 不穩定性的重要性：正壓和斜壓不穩定對理解天氣系統的發展至關重要。正壓不穩定主導熱帶地區的天氣現象（如熱帶波和氣旋），而斜壓不穩定則控制中緯度天氣（如風暴和鋒面）。
• 實際應用：
  • 天氣預報：識別易發生正壓不穩定的區域（如ITCZ剪切區）有助於預測熱帶氣旋的形成；斜壓不穩定則為中緯度風暴預報提供依據。
  • 氣候背景：溫度梯度的變化（例如因全球暖化）可能影響斜壓不穩定的頻率或強度，從而改變中緯度天氣模式。

需更深入的數學推導（例如正壓不穩定的 Rayleigh-Kuo 準則或斜壓不穩定的 Eady 模型），或針對特定面向（如熱帶氣旋動力學或中緯度風暴）的進一步探討！

References

1. 正壓大氣vs.斜壓大氣
2. 由非地轉風效應探討臺灣暨東亞地區冷季主要天氣實務研究 中央氣象局 預報中心 林定宜
3. 斜壓和正壓不穩定的介紹
   1. 大氣和海洋的運動基本上是一種能量的傳送過程,使地球的氣候維持一個近似平衡的狀態。從熱力學上來看,最簡單的大氣運動是暖空氣在赤道地區上升而在極地沉降。因質量守恒的關係,空氣在上大氣層由赤道流向極地,在近地層由極地流同赤道,形成一個封閉的環流。這種熱力引發的環流我們稱爲哈德里環流(Hadley Circulation)。然而由於柯氏力(Coriolis force)的作用,實際大氣中這個環流並不能延伸到極地,大約在緯度 30° 左右就沉降。在中高緯度,我們所看到的大氣運動主要是一串串的波動。這些波動不僅直接影響每天的天氣變化,也非常有效率的把低緯度多餘的能量傳送到高緯度,使赤道地區不至於越來越熱而極地越來越冷的情況。 這些波動是如何產生的呢?從觀測資料中我們 並沒有任何證據顯示他們的生命週期與任何外力的週期(例如天文上的週期)有相關。在沒有外力作 用下,這些波動的產生是經由大氣本身內在的機制來引發的。
      1. 從Charney (1947)和 Eady (1949) 的研究中我們知道,當平均風場有垂直風場時,在適當的條件下,平均風場會釋放可用位能供擾動長大。
         1. 大氣波動的生命週期與外力週期無關。
         2. 平均風場有垂直風切時，會釋放可用位能供擾動長大。
         3. 垂直風切表示大氣是斜壓系統。
         4. 擾動的成長會形成大氣波動。
         5. 這些波動會將能量從低緯度傳輸到高緯度，維持地球的能量平衡。
      2. 另一方面Kuo (1949)也證實,當平均風場有水平風切和滿足特定的條件,平均風場的動能可以轉換爲擾動的動能使擾動長大。這種現象我們稱為正壓不穩定。
   2. 圖一是不均經向風(zonal wind), ū› 的緯向高度剖面圖。我們可以看出 ū 有很明顯的水平和垂直風切 ,也就是平均大氣是處於潛在的正壓和斜壓不穩定狀態中。 由於這兩種不穩定和大氣的波動有密切的關係 ,本文將對他們的理論做簡單而有系統的介紹。在第二節中我們介紹產生不穩定的必要條件和其所含的物理意義。在第三節,我們介紹斜壓不穩定研究中兩個最基本的模式,Eady 和Charney 模式 。在第四節,我們介紹正壓不穩定問題,同時說明正壓和斜壓不穩定之間的相似性。最後一節,我們將整個理論做個總結。
4. 斜压不稳定理论的发展历程 | 2018
   1. 斜压不稳定理论是中高纬度地区天气尺度扰动生成和发展的机制，是继长波理论之后大气动力学上的又一重大进展，对现代天气预报具有重要的指导意义。按照斜压不稳定理论发展的时间脉络，阐述了赵九章、查尼和伊迪在斜压不稳定方面开展的研究工作，分析了3位科学家各自的研究特点及历史贡献。赵九章1946年发表在《Journal of Meteorology》上的论文，最早提出了"斜压不稳定"这一概念，给出了不稳定的临界波长，并阐述了在不稳定扰动情况下能量的转换，以及不稳定波对大气环流带来的可能影响，尽管得出的不稳定临界波长与观测差别较大，但其对波-流相互作用的讨论在当时是超前的。查尼于1947年采用滤波和尺度分析等方法，将大气扰动方程简化为一个可以求解的系统，推导出大气稳定状态的判据，建立了斜压不稳定理论，其结果与实况比较接近；并据此把准地转模式成功应用于数值天气预报实践中，促使数值天气预报获得首次成功。1949年，伊迪在查尼研究工作的基础上通过合理的简化方法，得到了更为简洁的模型。最后，通过对比他们的研究思路，重点分析了赵九章未能使得斜压不稳定理论提前一年建立的原因：由于其研究思路始终局限在大气水平运动上，忽略了斜压系统发展中散度项的贡献，因而未能抓住天气系统发生、发展的本质，致使其最终与斜压不稳定理论的成功建立失之交臂，其论文本身存在的一些亮点也因此被后人忽视。